Обсудить в форуме Комментариев 29Редактировать в вики
Линейная засечка — это нахождение положения точки по координатам двух исходных пунктов и расстояниям от этих пунктов до определяемой точки.
Содержание |
В качестве модели Земли принимается сфера с радиусом R, равным среднему радиусу земного эллипсоида. Аналогом прямой линии на плоскости является геодезическая линия на поверхности. На сфере геодезическая линия — дуга большого круга.
Введём следующие обозначения:
Линейное расстояние по дуге большого круга s связано со сферическим расстоянием σ формулой s = R σ.
Решение любого вида засечек сводится к нахождению полярных координат искомой точки, т.е. начального направления и расстояния на неё с одного из исходных пунктов. На конечном этапе координаты находятся из решения прямой геодезической задачи. Поскольку в линейной засечке расстояния σ₁₃ и σ₂₃ уже заданы, остаётся определить направление α₁₃ или α₂₃.
На рисунке синим цветом выделены заданные элементы сферических треугольников, красным цветом неизвестные, зелёным — вспомогательные элементы. Итак, в треугольнике Q₁Q₂Q₃ известны только два элемента — стороны σ₁₃ и σ₂₃. Из решения обратной геодезической задачи для пунктов Q₁, Q₂ можно получить недостающий третий элемент — расстояние σ₁₂, а также азимут α₁₂.
Последовательность действий:
Действия по первому и последнему пунктам рассмотрены в статьях Задачи на сфере: обратная геодезическая задача и Задачи на сфере: прямая геодезическая задача.
Угол β₁ и азимут α₁₃ вычисляются по формулам:
Если величина косинуса превышает единицу, задача поставлена некорректно, не выполняется закон «Длина стороны не может превышать сумму длин других сторон».
В общем случае имеется два решения, расположенных симметрично относительно большого круга Q₁Q₂. Следует явно определить, с какой стороны от направления Q₁Q₂ находится точка Q₃: если слева, как на рисунке, то в последней формуле ставим знак минус, если же справа — знак плюс.
Пример функции SphereLinear на языке Си, реализующей вышеизоложенный алгоритм:
/* * Решение линейной засечки * * Аргументы исходные: * pt1 - {широта, долгота} пункта Q1 * pt2 - {широта, долгота} пункта Q2 * dist13 - азимут направления Q1-Q3 * dist23 - азимут направления Q2-Q3 * clockwise - флаг направления: * 0 - налево от линии Q1-Q2, * 1 - направо от линии Q1-Q2 * * Аргументы определяемые: * pt3 - {широта, долгота} точки Q3 */ int SphereLinear(double pt1[], double pt2[], double dist13, double dist23, int right, double pt3[]) { double azi12, dist12, azi13; double cos_beta1; if (dist13 == 0.) { // Решение - точка Q1. pt3[0] = pt1[0]; pt3[1] = pt1[1]; return 0; } else if (dist23 == 0.) { // Решение - точка Q2. pt3[0] = pt2[0]; pt3[1] = pt2[1]; return 0; } SphereInverse(pt1, pt2, &azi12, &dist12); cos_beta1 = (cos(dist23) - cos(dist12) * cos(dist13)) / (sin(dist12) * sin(dist13)); if (fabs(cos_beta1) > 1.) // Решение не существует. return -1; azi13 = clockwise ? azi12 + acos(cos_beta1) : azi12 - acos(cos_beta1); SphereDirect(pt1, azi13, dist13, pt3); return 0; }
Этот код находится в архиве Sph.zip в файле sph.c. Кроме того, в файл sph.h включены следующие определения:
#define A_E 6371.0 // радиус Земли в километрах #define Degrees(x) (x * 57.29577951308232) // радианы -> градусы #define Radians(x) (x / 57.29577951308232) // градусы -> радианы
Теперь напишем программу, которая обращается к функции SphereLinear для решения линейной засечки:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "sph.h" int main(int argc, char *argv[]) { char buf[1024]; double pt1[2], pt2[2], pt3[2]; double lat1, lon1, lat2, lon2, dist13, dist23; int clockwise; while (fgets(buf, 1024, stdin) != NULL) { sscanf(buf, "%lf %lf %lf %lf %lf %lf %d", &lat1, &lon1, &lat2, &lon2, &dist13, &dist23, &clockwise); pt1[0] = Radians(lat1); pt1[1] = Radians(lon1); pt2[0] = Radians(lat2); pt2[1] = Radians(lon2); if (SphereLinear(pt1, pt2, dist13 / A_E, dist23 / A_E, clockwise, pt3)) puts("\t"); /* Решений нет */ else printf("%f\t%f\n", Degrees(pt3[0]), Degrees(pt3[1])); } return 0; }
В архиве Sph.zip этот код находится в файле lin.c. Создадим исполняемый модуль lin компилятором gcc:
$ gcc -o lin lin.c sph.c -lm
Впрочем, в архиве есть Makefile. Для MS Windows готовую программу lin.exe можно найти в архиве Sph-win32.zip.
Программа читает данные из стандартного ввода консоли и отправляет результаты на стандартный вывод. Для чтения и записи файлов используются символы перенаправления потока «>» и «<» соответственно. Из каждой строки ввода программа считывает координаты первого и второго пунктов φ₁, λ₁, φ₂, λ₂ в градусах, расстояния σ₁₃ и σ₂₃ в километрах (точнее, в единицах константы A_E) и признак направления (0 — налево от линии Q₁Q₂, 1 — направо); решает линейную засечку; выводит в строку вывода координаты третьей точки φ₃, λ₃ в градусах.
Создадим файл lin.dat, содержащий одну строку данных:
30 0 60 30 5001.1309 1722.9431 1
После запуска программы
$ lin < lin.dat
получим φ₃, λ₃:
52.000001 54.000000
В архиве Sph-py.zip находится код на языке Питон. Выполнение скрипта в командной консоли:
$ python lin.py lin.dat
Обсудить в форуме Комментариев 29Редактировать в вики
Последнее обновление: 2014-06-21 09:43
Дата создания: 11.03.2014
Автор(ы): ErnieBoyd
© GIS-Lab и авторы, 2002-2021. При использовании материалов сайта, ссылка на GIS-Lab и авторов обязательна. Содержание материалов - ответственность авторов. (подробнее).