Конструирование проекций, имитирующих местные координатные системы, в QGIS

Введение[править]

Под местной системой координат (МСК) будет подразумеваться так называемая «городская» система, построенная независимо от государственной системы (ГСК) и включенная в неё заданием ключей перехода к СК-42 или СК-63. МСК крупных территорий, сравнимых с размерами субъектов Федерации, не являются предметом данной статьи, поскольку относятся к классическим картографическим проекциям.

Многие программы ГИС по примеру геодезических программ позволяют реализовать работу в МСК непосредственно. Так, в QGIS и в MapInfo Pro любая проекция может быть дополнена аффинным преобразованием, а в Global Mapper конформные проекции дополняются разворотом. В данной статье рассматривается создание МСК в программах QGIS и MapInfo.

Постановка задачи[править]

Имеется множество пунктов, для которых известны координаты X, Y в ГСК и x, y в МСК. Требуется подобрать проекцию, удовлетворительно представляющую МСК в ГИС. При подборе параметров предполагается использовать один из пунктов в качестве центральной точки преобразования.

Подготовка данных[править]

Исходные данные[править]

Имеются два каталога. Текстовый файл cat_s42z4.tsv содержит координаты пунктов в государственной системе (ГСК), а именно в четвёртой зоне СК-42:

4645997.49 5768521.60
4661392.15 5770068.91
4650059.09 5783332.41
4634241.37 5778952.22
4631481.69 5764570.61
4642125.18 5754643.12
4655952.19 5757337.28

В файле cat_local.tsv — координаты в местной системе (МСК):

67266.64 30088.40
82697.29 31184.27
71759.40 44771.50
55822.67 40857.06
52643.65 26564.42
62990.64 16331.35
76888.20 18619.57

Каждая строка в обоих файлах соответствует одному и тому же пункту. В первой строке центральный пункт системы.

Дополнительные данные[править]

Очень важно помнить, что с точки зрения математической картографии МСК остаётся проекцией Гаусса-Крюгера и наследует её искажения. Поэтому важно знать, на какой именно ГСК основана МСК. Зачастую это заранее неизвестно, и приходится проводить предварительное исследование для выяснения этого вопроса.

В нашем примере мы предполагаем, что базовая ГСК либо СК-42 зона 4, либо СК-63 зона C0. Каталог в первой системе имеется, нужно подготовить каталог в альтернативной системе.

Параметры СК-63 зона C0 известны, это EPSG:3350 "Pulkovo 1942 / CS63 zone C0". Создадим каталог в СК-63 с помощью утилиты proj:

$ proj -I -f "%.17g" +init=epsg:28404 cat_s42z4.tsv > lonlat.tsv
$ proj -f "%.17g" +proj=tmerc +lat_0=0.1 +lon_0=21.95 +k=1 +x_0=250000 +y_0=0 +ellps=krass lonlat.tsv > cat_s63c0.tsv

В файл lonlat.tsv запишутся географические координаты (долготы и широты) в СК-42, а в cat_s63c0.tsv координаты в СК-63 зона C0:

330797.45370592922 5755981.4751984337
346208.04426388565 5757327.0953416284
335051.73824425979 5770735.1441946141
319180.795365442   5766563.182877643
316233.72446517192 5752221.1970210578
326744.90098082455 5742157.2318198672
340603.31654394628 5744670.1910534762

Создание МСК[править]

Для вычислений используем консольную утилиту findkey, о которой сказано ниже в приложении.

Определение базовой ГСК[править]

Вычислим параметры конформного преобразования координат из СК-42 в МСК. Для этого в командной строке запустим программу findkey с аргументами cat_s42z4.tsv и cat_local.tsv:

$ findkey cat_s42z4.tsv cat_local.tsv

Программа создаст два файла: key.txt с параметрами конформного преобразования и var.csv с координатными невязками. Посмотрим на содержимое var.csv:

Вычислим параметры конформного преобразования координат из СК-63 в МСК:

$ findkey cat_s63c0.tsv cat_local.tsv

Теперь содержимое var.csv будет таким:

Сравнение невязок позволяет сделать вывод, что базовая ГСК — СК-63 зона C0.

Полученные параметры[править]

Изучим содержимое файла key.txt, соответствующего СК-63:

WKT:
A0 = -356718.938772419
A1 = 0.999887380509183
A2 = 0.0161962611321084
B0 = -5719887.1597502
B1 = -0.0161962611321084
B2 = 0.999887380509183

MapInfo:
0.999887380509, 0.016196261132, -356718.93877241889, -0.016196261132, 0.999887380509, -5719887.159750198

Alternate set:
scale = 1.000018546116108
angle = 0.92800077023443683

Мы видим три группы чисел: WKT, MapInfo и Alternate set.

Обратим внимание на параметр разворота angle из третьей группы. Если он мал, в пределах первых десятых долей градуса, имеет смысл отказаться от использования конформного преобразования и вместо этого смещать осевой меридиан для устранения угла разворота.

Создание МСК в MapInfo[править]

Запись базовой СК-63 зона C0 в файле MAPINFOW.PRJ должна выглядеть так:

"CS63 zone C0", 8, 1001, 7, 21.95, 0.1, 1, 250000, 0

Используем вторую группу из файла key.txt. Впишем МСК в MAPINFOW.PRJ как базовую, дополненную аффинным преобразованием:

"Biala Podlaska", 1008, 1001, 7, 21.95, 0.1, 1, 250000, 0, 7, 0.999887380509, 0.016196261132, -356718.93877241889, -0.016196261132, 0.999887380509, -5719887.159750198

Полноценное определение нуждается в параметрах Bounds:

"Biala Podlaska", 3008, 1001, 7, 21.95, 0.1, 1, 250000, 0, 7, 0.999887380509, 0.016196261132, -356718.93877241889, -0.016196261132, 0.999887380509, -5719887.159750198, 52000, 15000, 82000, 45000

Создание МСК в QGIS[править]

Возьмём коэффициенты из первой группы в файле key.txt и создадим МСК в формате WKT как аффинное преобразование на основе проекции "Pulkovo 1942 / CS63 zone C0":

DERIVEDPROJCRS["Biala Podlaska",
    BASEPROJCRS["Pulkovo 1942 / CS63 zone C0",
        BASEGEOGCRS["Pulkovo 1942",
            DATUM["Pulkovo 1942",
                ELLIPSOID["Krassowsky 1940",6378245,298.3,
                    LENGTHUNIT["metre",1]]],
            PRIMEM["Greenwich",0,
                ANGLEUNIT["Degree",0.0174532925199433]]],
        CONVERSION["CS63 zone C0",
            METHOD["Transverse Mercator",
                ID["EPSG",9807]],
            PARAMETER["Latitude of natural origin",0.1,
                ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
                ID["EPSG",8801]],
            PARAMETER["Longitude of natural origin",21.95,
                ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433],
                ID["EPSG",8802]],
            PARAMETER["Scale factor at natural origin",1,
                SCALEUNIT["unity",1],
                ID["EPSG",8805]],
            PARAMETER["False easting",250000,
                LENGTHUNIT["metre",1],
                ID["EPSG",8806]],
            PARAMETER["False northing",0,
                LENGTHUNIT["metre",1],
                ID["EPSG",8807]]]],
    DERIVINGCONVERSION["Affine",
        METHOD["Affine parametric transformation",
            ID["EPSG",9624]],
        PARAMETER["A0",-356718.938772649,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8623]],
        PARAMETER["A1",0.999887380509304,
            SCALEUNIT["coefficient",1],
            ID["EPSG",8624]],
        PARAMETER["A2",0.0161962611321413,
            SCALEUNIT["coefficient",1],
            ID["EPSG",8625]],
        PARAMETER["B0",-5719887.15975089,
            LENGTHUNIT["metre",1],
            ID["EPSG",8639]],
        PARAMETER["B1",-0.0161962611321413,
            SCALEUNIT["coefficient",1],
            ID["EPSG",8640]],
        PARAMETER["B2",0.999887380509304,
            SCALEUNIT["coefficient",1],
            ID["EPSG",8641]]],
    CS[Cartesian,2],
        AXIS["easting (X)",east,
            ORDER[1],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
        AXIS["northing (Y)",north,
            ORDER[2],
            LENGTHUNIT["metre",1]],
    USAGE[
        SCOPE["unknown"],
        AREA["Europe - Poland - Biala Podlaska"],
        BBOX[51.9,22.9,52.1,23.3]]]

В первой строке записали название системы координат латиницей "Biala Podlaska". В конце вставили название покрываемой территории "Europe - Poland - Biala Podlaska" и охват в формате φ_min, λ_min, φ_max, λ_max.

Создание МСК в Global Mapper[править]

Третья группа параметров в файле key.txt содержит масштабный коэффициент scale и угол поворота angle. Угол вставляем как есть, а масштабный коэффициент умножим на соответствующий параметр базовой СК.

Заключение[править]

Задачи построения МСК для QGIS и MapInfo выполнены, цель достигнута.

Приложение. Утилита findkey[править]

Программа findkey вычисляет параметры конформного преобразования. Написана на языке C. Вот листинг:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define SEP ';' /* var-file column separator */

/* --------------------------------------------------------------------------
 * findkey
 *
 * Program to compute Helmert 2D transformation parameters
 *
 * Usage: findkey <coord1> <coord2>
 *
 * Input files: coord1 coord2
 *     coord1 - source coordinate 'x1 y1'
 *     coord2 - destination coordinate 'x2 y2'
 *              a row per a point; 3+ points
 *
 * Output files:
 *    key.txt - transformation parameters
 *    var.csv - SEP separated residuals 'dx dy'
 * -------------------------------------------------------------------------- */
int main(int argc, char *argv[])
{
  char buf0[1024], buf1[1024];
  double x[2], y[2];
  double xc[2], yc[2];
  double dx[2], dy[2];
  double s[7] = {0., 0., 0., 0., 0.};
  double det, h[6];
  double mu, theta;
  double yh[2];
  int i;
  FILE *fp0, *fp1, *fp2;

  if (argc < 3) {
    printf("Usage: findkey <coord1> <coord2>\n");
    exit(EXIT_FAILURE);
  }

  if ((fp0 = fopen(argv[1], "r")) == NULL) {
    printf("can't open %s\n", argv[1]);
    exit(EXIT_FAILURE);
  }

  if ((fp1 = fopen(argv[2], "r")) == NULL) {
    printf("can't open %s\n", argv[2]);
    exit(EXIT_FAILURE);
  }

  /* coordinate sums */
  while (fgets(buf0, 1024, fp0) != NULL && fgets(buf1, 1024, fp1) != NULL) {
    sscanf(buf0, "%lf %lf", &x[0], &x[1]);
    sscanf(buf1, "%lf %lf", &y[0], &y[1]);
    s[0] += x[0];
    s[1] += x[1];
    s[2] += y[0];
    s[3] += y[1];
    s[4] += 1.;
  }
  rewind(fp0);
  rewind(fp1);

  /* centrum gravitatis */
  for (i = 0; i < 2; i++) {
    xc[i] = s[i] / s[4];
    yc[i] = s[2 + i] / s[4];
  }

  /* sums of products */
  for (i = 0; i < 7; i++)
    s[i] = 0.;
  while (fgets(buf0, 1024, fp0) != NULL && fgets(buf1, 1024, fp1) != NULL) {
    sscanf(buf0, "%lf %lf", &x[0], &x[1]);
    sscanf(buf1, "%lf %lf", &y[0], &y[1]);
    /* coordinate differences */
    dx[0] = x[0] - xc[0];
    dx[1] = x[1] - xc[1];
    dy[0] = y[0] - yc[0];
    dy[1] = y[1] - yc[1];
    /* summation */
    s[0] += dx[0] * dx[0];
    /*s[1] += dx[0] * dx[1];*/
    s[2] += dx[1] * dx[1];
    s[3] += dx[0] * dy[0];
    s[4] += dx[1] * dy[0];
    s[5] += dx[0] * dy[1];
    s[6] += dx[1] * dy[1];
  }
  rewind(fp0);
  rewind(fp1);

  /* Helmert parameters */
  det = s[0] + s[2];
  h[0] = (s[3] + s[6]) / det;
  h[1] = (s[4] - s[5]) / det;
  h[2] = yc[0] - h[0] * xc[0] - h[1] * xc[1];
  h[3] = -h[1];
  h[4] = h[0];
  h[5] = yc[1] - h[3] * xc[0] - h[4] * xc[1];

  /* alternative Helmert parameter set */
  mu = hypot(h[0], h[1]);
  theta = atan2(h[1], h[0]) / M_PI * 180.;

  /* output parameters */
  if ((fp2 = fopen("key.txt", "w")) == NULL) {
    printf("can't create %s\n", "key.txt");
    exit(EXIT_FAILURE);
  }
  fprintf(fp2, "WKT:\nA0 = %.15g\nA1 = %.15g\nA2 = %.15g\nB0 = %.15g\nB1 = %.15g\nB2 = %.15g\n",
	  h[2], h[0], h[1], h[5], h[3], h[4]);
  fprintf(fp2, "\nMapInfo:\n%.12f, %.12f, %.17g, %.12f, %.12f, %.17g\n",
	  h[0], h[1], h[2], h[3], h[4], h[5]);
  fprintf(fp2, "\nAlternate set:\nscale = %.17g\nangle = %.17g\n", mu, theta);
  fclose(fp2);

  /* output residuals */
  if ((fp2 = fopen("var.csv", "w")) == NULL) {
    printf("can't create %s\n", "var.csv");
    exit(EXIT_FAILURE);
  }
  while (fgets(buf0, 1024, fp0) != NULL && fgets(buf1, 1024, fp1) != NULL) {
    sscanf(buf0, "%lf %lf", &x[0], &x[1]);
    sscanf(buf1, "%lf %lf", &y[0], &y[1]);
    /* model y */
    yh[0] = h[0] * x[0] + h[1] * x[1] + h[2];
    yh[1] = h[3] * x[0] + h[4] * x[1] + h[5];
    fprintf(fp2, "%.15g%c%.15g\n", yh[0] - y[0], SEP, yh[1] - y[1]);
  }
  fclose(fp2);
  fclose(fp1);
  fclose(fp0);

  exit(EXIT_SUCCESS);
}

Сохраним код в файл findkey.c. Создадим исполняемый модуль компилятором gcc:

$ gcc -o findkey findkey.c -lm

Пользователи MS Windows могут загрузить уже скомпилированную программу.

Ссылки[править]

• Map Projections — A Working Manual, Snyder J. P., USGS Professional Paper 1395, 1987
• Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, EPSG Guidance Note 7-2
• Справка ArcGIS — Локальная проекция Декартовой системы координат
• Using PROJ
• Конформное преобразование
• Defining a coordinate system in WKT or PROJ format that has an Affine transformaiton and bounds