И ЕЩЕ РАЗ О ПРОЕКЦИЯХ. Теоретические вопросы.

[Boris]

Созрел вопрос, связанный с теорией построения отечественных (а может и каких еще) систем координат.
Имеем поперечную проекцию Меркатора (или Гаусса-Крюгера). Имеем в качестве глобуса - эллипсоид Красовского.
Имеем ряд параметров, задающих проекцию и связанную с ней систему координат:
1. центральный меридиан
2. начальную параллель
3. смещение начала координат по X/Y или север/восток, кому как нравится называть.
4. масштабный коэффициент (пусть будет равен 1.00000)
----
Что задает центральный меридиан - понятно. Это место где цилиндр прижимают к эллипсоиду.
А на сколько собственно критичны остальные параметры?
1. В частности, смещение начальной параллели. На что влияет ее размещение?
2. И связанный вопрос, является ли фигурой отображения именно цилиндр, или это более сложная фигура, повторяющая поверхность эллипсоида?
И еще пара вопросов:
3. Смещение начала координат, связанное со смещением по оси X (восток), как говорится, оно используется исключительно для удобства записи координат, что бы не было отрицательных значений. Имеет ли оно еще какой-нибудь смысл?
4. И собственно, основной вопрос, имеющий уже практический интерес. Смещение по оси Y (север) и смещение начальной параллели. Являются ли эти величины связанными? Можно ли одно выразить одно через другое в виде константы в пределах выбранной "дольки" проекции?

[geologic]

Смещение начала координат - в любой декартовой системе вещь необязательная и автономная. В общем, дело вкуса IMHO, сколько X и Y устанавливать. Разумеется, X не зависит от Y, да и ни на что не влияет, кроме как X на X, Y на Y. Если двигать кальку по плоскости, то ее форма ведь не не изменится - прямая аналогия. Не изменится и ориентация.

Начальная параллель... Хм, задумался. Цилиндр строго горизонтальный, неужели идет смещение попер. оси по дольке?

Вообще-то Меркаторская проекция - чисто цилиндрическая, формулы-расчеты это подтверждают. Именно поперечную не проверял... А что ж вы про масштаб не спросили, это интересная вещь...

[Каминский Вадим]

Поправка, в проекции ГК оси имеют обратное название чем принято в Декартовой СК, т.е. Х-север, Y-восток. Само определение проекции ГК и координаты X дает ответ на первый вопрос. Начало осчета ведется от Экватора, т.е. от 0 параллели. Если мы делаем смещение начальной параллели, то происходит поворот эллипсоида вокруг оси циллиндра и соответственно появляется приращение у Х. Это приращение можно задать и смещением (север). Можно попробовать разработать пересчет зависимости приращений и изменения начальной параллели, но тут следует учесть, что на эллипсоиде длина дуги меридиана на разных широтах будет разная, чем ближе к полюсу, тем больше.
Проецирование происходит на поперечный циллиндр как в UTM так и ГК. Полное название равноугольная поперечно-циллиндрическая. Разница лишь в масштабном кооффициенте, при 1 (ГК) )мы имеем касательный циллиндр и одну линию нулевых искажений, на которой частные масштабы (длин, площадей и углов) равны 1, при частном масштабе длин на центральном меридиане 0,9996 (UTM) мы имеем секущий циллиндр и как следствие две параллельные линии нулевых искажений, которые отстоят от центрального меридиана примерно на 180 км.
Восточное смещение (Y) необходимо действительно для удобства, часто цифровые данные содержат смещение не в 500 000, а уже с учетом номера зоны, например, 7 5000 000.

[Boris]

Уважаемые коллеги, я же задавал теоретические вопросы, и потому не хотел бы вступать с вами в дискуссию.
Но честно, я ничего не понял.
Кроме того, что я оси неправильно именовал. Это я признаю. Тем вы раскрыли мне давно мучившую меня тайну, почему у всех на север идет Y, а у геодезистов X. Теперь я понял - это проверка "свой-чужой".

НО я же задал 4 вопроса и надеялся увидеть на них 4 ответа.

Давайте, раз теоретической дискуссии не получилось, вернемся к голой практике.
Возьмем некую систему координат. На эллипсоиде Красовского. Назовем ее "ЫСК". "Ы", что бы никто не догадался.
Эта система координат имеет коэфициент 1.0000. имеет нестандартный меридиан, с каким-нибудь идиотским смещением +/- 1-3 минуты. В настоящий момент эти "ЫСК" бодро шагают по стране, что бы окончательно запутать эфиопские силы вторжения, которые первым делом захватят хранилища карт в "ЫСК-а" и сгинут на просторах родины, решив что они на Сомалийском Роге.
Так эти "ЫСК", как и их предшественники "ёСК", коих все же было в разы меньше, имеют кроме идиотского смещения меридиана, еще одно смещение - уже по вдоль этого самого меридиана. И этих смещений два вида - в одном случае он задается как смещение начальной параллели. И сдается мне, что глобус при этом не вращают. И точно не переходят к косой проекции.

А имеется вариант, где задается смещение не в градусах, а в километрах.
Не далее как вчера я видел такую "ЫСКа", со смещением по меридиану в 4000000 метров.
----
Вопрос 4, собственно и посвящен этой дву-вариантности, задавать так смещение - это дело вкуса или имеет какой-то географический смысл?
С этим же связан вопрос, меняется ли длина 1-градуса вдоль центрального меридиана (помните, коэффициент = 1), по мере движения на север? Если мы учитываем сжатие эллипсоида, то он должен уменьшатся.
А из этого следует, что смещение от экватора, заданное в метрах, никак не может быть преобразовано в смещение заданное в градусах.
----
Позволю себе замечание, что декартовой системы координат на глобусе, а тем более на эллипсоиде, не бывает, на нем как мы все знаем меридианы, параллельные на экваторе, на полюсе - пересекаются. Значит движения "кальки" имеют какой-то более сложный закон. Из которого очевидно следует, что X-Y зависят друг от друга, и от начала координат, причем зависят - нелинейно.
----
Готов услышать ваши дальнейшие замечания в продолжение этой глубоко "теоретической" темы. За ошибки и не точности, я заранее прошу прощения. Я не картограф, хотя и математик. У меня есть свои подозрения на этот счет, но я хотел бы вначале услышать мнение людей, которые в этом, в силу образования или опыта, или того и другого, действительно понимают гораздо больше, чем я.

[geologic]

Н-н-не вполне понимаю, вроде как раз вы получили предварительные ответы на все вопросы... Описание вашей системы не понял - уж больно вы его зашифровали.

Понятно, что сдвиг начальной параллели связан со сдвигом на север - False Northing. Я не видел применения в деле первого параметра, и не представляю реальных последствий. Если Вадим в курсе, хотелось бы услышать поподробнее. Если 6-град. дольки при этом тоже смещается (вслед за вращением цилиндра), то получается, сходятся они тогда не на полюсе?

Однако сдвиг на север и сдвиг на восток (False Northing, False Easting) происходят уже ПОСЛЕ проекционных преобразований, и двигают "кальку" именно по плоскости. Точнее, по расплющенной дольке апельсина. Так что аналогия вполне уместна. В любом софте и девайсе вы можете задавать FN FE по отдельности, имитируя, в частности, локальные системы координат со смещенным началом. Может быть, вы о других X и Y говорите? Стоило бы пояснить.

Неравномерность длины дуги меридиана на эллипсоиде действительно имеет место, ведь от сфероида он отличается сплюснутостью c полюсов, соотв. 1 градус к северу короче. Ну это как математику вам понятно, да и нам простым смертным, достаточно схему в разрезе начертить

[Boris]

Ну вы совсем как дети малые, подробностей да подробностей.
Хорошо, вот имеет СК-63. Родная проекция ГК, с идиотски сдвинутым начальным меридианом. В сети представлена двумя видами описания:
а) со смещением начальной параллели - www.geo.ut.ee/~raivo/ESTCOORD.HTML раздел Pulkovo'63
б) со смещением начала координат по X (север) system-1963.narod.ru/
ArcGIS и EPSG говорят, что смещение идет путем задания начальной параллели, на-пример,
Code:
EPSG::2936
Name:
Pulkovo 1942 / CS63 zone A2
-----
Вопрос, в том, являются ли эти два способа задания смещения эквивалентными? Или нет?
Или они являются эквивалентными только на центральном меридиане или только на экваторе?
-----
Я не знаю, как ГИС вычисляют смещение в градусах, относительно экватора, то что смещение False X/Y вычисляют простым прибавлением-вычитанием - я догадываюсь. А вот как влияет смещение начальной параллели, я пытаюсь понять.
Для меня в данный момент очевидно, что два способа смещения НЕэквивалентны, но я хочу услышать мнение, тех кто в этом по понимает. Если они скажут, что в пределах зоны 6 или 3 градуса, расхождения несуществены, я приму это и буду знать, что двигать то или другое - дело вкуса.
----
А проблема осложняется тем, что если раньше было около 20 областей, то теперь в целях "либерализации" каждому субъекту федерации назначают свою собственную мск, как правило производную от ск-63, но всегда со своей местной особенностью. И соседи знать не ведают, что там друг у друга рисуют и как, особенно на уровне муниципальных образований.
Если раньше у нас газопроводы не сходились на границе двух областей ск-63, то теперь они перестанут сходится на уровне областей-субъектов рф.

[geologic]

Так не Y от X вы ищете, а False Northing от X, уф. В этом я не копенгаген - Вадим сказал "А" (что можно найти такую зависимость), пусть он вам и ответит дальше.

Кстати, после наших прошлых бесед - невзирая на взаимное отсутствие геодезического образования - про СК-63 удалось кое-что уразуметь, и по аналогии с другими зонами-подрайонами составить prj на "свою". Сложности были с подбором центрального меридиана, его пришлось угадать. Начальную параллель не трогал, во избежание Остальная доводка была сдвигом по X/Y (FN FE). Итоговая точность получилась порядка 15 метров, что для наших целей вполне. Если в результате ваших изысканий эту точность можно улучшить, то это будет весьма интересно - но чисто теоретически, разумеется

[Boris]

Это не реально дальше улучшить точность. По моему скромному разумению, дальше начинается чистая геодезия, которой не проекции нужны, а геодезические пункты.
Как я понимаю, ск-63 и ск-42 имеют общие геопункты, хотя ск-63 и мск и дальше могут дробится сетями, но суть та же - дальше уже не формулы идут, а пары точек, а все что между ними пересчитывается по методам триангуляции.
Судя по всему, именно это расхождение и было одной из декларированных целей перехода к ск-95 и pz-90, но потом опять всплыл "свой путь" и все вернулось к геопунктам.

[Каминский Вадим]

Очень много понаписали, больше эмоций чем теории Во-первых, давайте отделять СК и проекции - коэфф. 1 связан с проекцией , а не с СК. Вообще упрощенное понимание про проекции ГК и UTM http://ne-grusti.narod.ru/Glossary/projections.html Во-вторых, еще раз: длина дуги меридиана возрастает от экватора к полюсу, а следует это из определения геодезической широты, под которой мы понимаем угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора. Или можно представить сплюснутось как часть окружности более большого радиуса (а соответственно большей длины окружности) по сравнению с экваториальной частью, для примера табличка http://geography.su/atlas/item/f00/s00/ ... 000008.jpg. Ну и в третьих, самое главное, рискну предположить что эквивалентность имеет место быть и основана она на длине дуги меридиана, которая в приближенном виде выглядит следующим образом:
S=6367558,5*B-sinB*cosB*(32005,6+134,6*sinB^2)
S- длина дуги меридиана, от экватора до геодезической широты B
B - выражается в радианах
Точность составляет 20 см, надеюсь хватит.
Также интуиция мне подсказывает, что и обратная задача с поиском широты решается )))
Как сие преобразование выглядит на практике. Изменили начальную широту с 0 до 10 гр., либо добавили приращение к X 1105874,6 метра, результат не изменился!))
Все выкладки представлены для эллипсоида Крассовского.
Прошу извинить меня, если что то в цифрах напутал, по специальности я не математик.

[Andrey1]

В параметры расчёта СК63 "начальная параллель" не входит, а входит смещение по X (на север), несколько другая штука.

Напоминаю, что СК63 и СК42 - это проекция Гаусса-Крюгера на эллипсоиде Красовского (причём одном и том же, безо всяких сдвигов/поворотов).

Напоминаю, что расчёт координат для этих СК идёт по принципу

X = False Northing + F1(B,L-L0);
Y = False Easting + F2(B,L-L0);

Функции F1 и F2 - стандартные функции, описывающие проекцию и даются в огромном количестве источников. B0 на практике никогда не используется, поэтому я пишу просто B, а не B-B0.

Итак, различие СК42 и СК63 (с точки зрения вычисления координат x,y) - в разных параметрах FN, FE и L0.

Смотрим интернет, открытые источники (в том числе сайт system-1963, к которому я , мамой клянусь, отношения не имею) и выдвигаем очевидную ГИПОТЕЗУ (!, для тов. майора) о том, что, ВОЗМОЖНО,

1) параметр L0 всегда дискретен;
2) параметр False Norting тоже дискретен;
3) параметр False Easting дискретен.

На основании этой гипотезы мало-мальски толковый человек, получив в распоряжение, допустим, несекретную километровку СК63 и, зная количество и номинал значений, принимаемых каждым из вышеуказанных параметров, выясняет параметры СК63 для данной зоны. Voila!

Примечание. Не всегда точно удаётся выяснить FE, но это тоже решаемая задача для практического картографа/геодезиста.

[Boris]

В параметры расчёта СК63 "начальная параллель" не входит, а входит смещение по X (на север), несколько другая штука.

Дорогие коллеги,
ну ответьте все же мне, если "начальная параллель" НЕ входит в число этих самых параметров, то почему EPSG и ArcGIS, на областях (не субъектах РФ, а областях действия), приводят это самое смещение, а False Norting не приводят.

Clipboard01.png (121.28 КБ) 17699 просмотров

Весь вопрос в том и соcтоит, сколько параметров надо учитывать в своей эмпирической работе. И какова погрешность, если вместо False Norting берешь смещение параллели, или наоборот.

[Каминский Вадим]

В параметры расчёта СК63 "начальная параллель" не входит, а входит смещение по X (на север), несколько другая штука.

Andrey1 в чем отличие этих штук?, если речь идет об определенных алгоритмах с определенной точностью?

Дорогие коллеги,
ну ответьте все же мне, если "начальная параллель" НЕ входит в число этих самых параметров, то почему EPSG и ArcGIS, на областях (не субъектах РФ, а областях действия), приводят это самое смещение, а False Norting не приводят.

Еще раз отвечу, что разницы в этом нет с определенной точностью. Приведенная мной формула дает точность 20 сантиметров. По сути это упрощенная формула пересчета геодезической широты В в координату Х прямоугольной СК в проекции ГК. Проанализируйте отличия координат при начальной параллели в 6 минут и северного смещения 11057,62592 м.

[Boris]

2 Каминский Вадим
Спасибо за советы, я как раз сейчас и собираюсь это проделать. Ищу чем по-проще сгенерировать точек с шагом в размер листа 1:10.000, а потом пересчитаю по формуле и каким-нибудь специализированным софтом.
О результатах отпишусь здесь же.

[Andrey1]

Ну не дали с какого-то бодуна один из параметров, в чём трагедия?

[Донецков]

Возможно - 6 минут и северного смещения 11057,62592 м и эквивалентны, но в формулах, как правило указавают 11057,63 м, что не есть одно и тоже...