Геодезические системы пространственных координат

[Игорь Белов]

Выкладываю статью «Геодезические системы пространственных координат». Прошу смотреть и критиковать.

[Denis Rykov]

А можно добавить в статью области применения каждой из трех описанных систем координат и случаи, когда требуется осуществление пересчета?

[ Сообщение с мобильного устройства ]

[Игорь Белов]

А можно добавить в статью области применения каждой из трех описанных систем координат и случаи, когда требуется осуществление пересчета?

Для геодезиста это неожиданное предложение

Предлагаю следующий пассаж:

Помимо широкого использования в геодезических целях, каждая из представленных координатных систем находит важное применение в прикладных областях.

Геодезические координаты с времён седой древности используются для навигации и картографии. В картографии они являются основой построения проекций.

Геоцентрическая система координат необходима для вычисления спутниковых орбит и решения других орбитальных задач.

Проекции, используемые картографами различных стран, основаны на различных геодезических датумах, т.е. созданы на различных эллипсоидах с разными размерами, положением центров и ориентацией осей в пространстве. Самый простой и точный способ пересчёта координат, заданных в разных датумах, зиждется на преобразованиях между геодезическими и геоцентрическими системами. В общем случае схема пересчёта координат между двумя проекциями выполняется в пять этапов:

1. координаты первой проекции в геодезические координаты на первом эллипсоиде,
2. геодезические координаты в геоцентрическую систему первого датума,
3. геоцентрические координаты первого датума в геоцентрические координаты второго датума,
4. геоцентрические координаты в геодезические координаты второго эллипсоида,
5. геодезические координаты в координаты второй проекции.

Топоцентрическая система координат — естественная система для работы различных наземных объектов: стартовых ракетных комплексов, станций слежения за спутниками, станций ПВО и других измерительных комплексов. Естественно, собираемая информация в каждом случае преобразуется в общую систему координат, связанную с Землёй — геодезическую систему координат.

[gamm]

в голове вертится "отклонение отвеса", или она не имеет отношения к системе координат (скорее всего, топоцентрической)?

[Denis Rykov]

Для геодезиста это неожиданное предложение.

Ну так не геодезист я, поэтому ничего удивительного Пассаж принимается - вот вот чего не хватало в статье по крайней мере для меня. Спасибо!

Еще одно уточнение:

ось z расположена вдоль оси вращения эллипсоида

А что такое ось вращения эллипсоида? Я так понимаю ось z расположена вдоль малой оси эллипса, вращением вокруг которой получен эллипсоид. Или это синонимы?

[gamm]

А что такое ось вращения эллипсоида? Я так понимаю ось z расположена вдоль малой оси эллипса, вращением вокруг которой получен эллипсоид. Или это синонимы?

эллипсоид вращается вместе с Землей, ИМХО. Если он не будет вращаться, получится еще одна система координат, похожая на Ecliptic coordinate system, если мне не изменяет мой склероз ...

[Игорь Белов]

в голове вертится "отклонение отвеса", или она не имеет отношения к системе координат (скорее всего, топоцентрической)?

Разумеется, имеет, и самое непосредственное! Просто как-то жёстко окунать неподготовленного читателя в пучину, наполненную кошмарами. Тогда надо начинать с теории фигуры Земли, рассказывать об уровенной поверхности, об астрономической широте и долготе — сколько этих широт/долгот ещё?

Дальше больше. Мало того, что Земля не эллипсоид — а зачем тогда эллипсоид? — так ещё и широты/долготы меняются со временем, потому что эта Земля болтается на оси вращения, и тектонические плиты дрейфуют… Сами читайте вашу статью!

Еще одно уточнение:

ось z расположена вдоль оси вращения эллипсоида

А что такое ось вращения эллипсоида? Я так понимаю ось z расположена вдоль малой оси эллипса, вращением вокруг которой получен эллипсоид. Или это синонимы?

Мда. Формально это суть разные вещи. Полагаете, стоит дополнить предложение «Поверхность эллипсоида образуется вращением эллипса вокруг его малой оси» определением оси вращения эллипсоида?

[Denis Rykov]

Да, мне кажется было бы уместно.

[Игорь Белов]

Попробую так:

Поверхность эллипсоида образуется вращением эллипса вокруг его малой оси, которая также является осью вращения эллипсоида.

[stout]

Уважаемый ErnieBoyd!
Во-первых, большое спасибо за статью.
Ниже не столько замечания, сколько "мысли вслух".

"В теории и практике вычислений широко используются такие параметры, как полярный радиус кривизны поверхности c, первый эксцентриситет e и второй эксцентриситет e'…"

Возможно стоило упомянуть третье сжатие n=f/(2-f)
Нетрудно заметить, что оно n≈e²/4, поэтому различные разложения по третьему сжатию сходятся чуть быстрее, чем разложения по квадрату эксцентриситета. К таким разложениям относится: формула Гельмерта для вычисления длины дуги меридиана, Крюгер отдавал предпочтение третьему сжатию.

"Рассмотрим следующие системы координат.

Геоцентрические декартовы прямоугольные координаты:
начало координат находится в центре эллипсоида"

На данном этапе правильнее было бы сказать наоборот: центр эллипсоида совпадает с началом координат.
На сайте ITRF http://itrf.ign.fr/faq.php?type=answer#question2
в FAQ написано:

What is the ellipsoid associated with the realizations of ITRS ?
The ITRF solutions do not directly use an ellipsoid. ITRF solutions are specified by cartesian equatorial coordinates X, Y, and Z. If needed they can be transformed to geographical coordinates (Longitude, Latitude and Height) referred to an ellipsoid. In this case the GRS80 ellipsoid is recommended (semi-major axis a=6378137.0 m, eccentricity**2 =0.00669438002290).

В настоящий момент декартова СК первична. И на её оси можно "натянуть" любой эллипсоид.

"геодезическая долгота L
двугранный угол между плоскостями данного и начального меридианов"

Это не так.
По определению (например, http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0% ... 0%BE%D0%BB),
"Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями."
Иногда часть пространства не включают в определение, но в любом случае, двугранный угол — пространственная фигура.
Геодезическая долгота — это мера двугранного угла (или линейный угол), образованного плоскостями данного и начального меридианов.
Я достаточно долго искал, кто первый у нас сказал о долготе, как двугранном угле. Не нашёл. У Красовского двугранного угла в определении ещё не было. У астрономов и до сих пор нет. В забугорных определениях такой рениксы нет.

"Геоцентрическая система координат необходима для вычисления спутниковых орбит"

Скорее не необходима, а может часто использоваться. Особенно при численных методах интегрирования орбит. В аналитических методах её в явном виде нет. Есть формулы, позволяющие перейти от фазового вектора состояния спутника в ту, или иную СК и обратно. Как жёстко связанную (т.е. вращающеюся) с фигурой(телом) Земли, так и не связанную, например, инерциальную геоцентрическую СК.(Geocentric Celestial Reference System)

"Проще всего вычисляется долгота:
tgB = y/x"

Сначала по поводу обозначений.
В ISO 80000-2:2009(E) написано: "tg x should not be used"

В ГОСТ Р 54521 — 2011 [стандарт разработан с учетом основных требований международного стандарта ИСО 80000-2:2009 «Величины и единицы. Часть 2. Математические символы и знаки для применения в естественных науках и технологиях» (ISO 80000-2:2009 «Quantities and units — Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology»)]
сказано более мягко:"По возможности следует избегать использования обозначения tg х".

В 1982 году Ваничек и Кракивский (Vaníček P. and Krakiwsky E.J., 1982. Geodesy: The Concepts. Elsevier, Amsterdam, The Netherlands) предложили более устойчивую в численном смысле формулу:

L = 2 arctan(Y/(X+sqrt(X*X+Y*Y)))

В работе Вермейла (Vermeille H., 2004. Computing geodetic coordinates from geocentric coordinates. J. Geodesy, 78, 94−95) её улучшили.

В журнале геодезия и аэрофотосъемка, № 3, 2012 есть статья П. Пенева и Е. Пеневой
"Преобразование прямоугольных геоцентрических координат в геодезические без применения итерации", где обсуждаются (помимо основной задачи) формулы вычисления долготы.

"Существует множество способов решения этой задачи. Воспользуемся итеративным методом Боуринга.
В начале находится предварительная оценка широты B"

В отечественной литературе до сих пор часто встречается утверждение, что широту можно находить только методом итераций. (Достаточно вспомнить приснопамятный ГОСТ Р 51794-2008) На самом деле существует более десятка аналитически точных конечных способов.
(Хороший обзор дан в CLOSED-FORM TRANSFORMATION BETWEEN GEODETIC AND ELLIPSOIDAL COORDINATES
W.E. FEATHERSTONE AND S.J. CLAESSENS. Статья в открытом доступе.)
Но реалии сегодня таковы, что итерационные способы оказываются быстрее. Правда, тут впору вспомнить высказывание того же Вермейла (если не ошибаюсь), что говорить об эффективности метода, когда не самый быстрый алгоритм позволяет за одну секунду перевычислить миллион координат особого смысла не имеет. Тут скорее речь идёт о некой эстетической красоте формул.

Особое спасибо за то, что назвали метод Боуринга итерационным. По своей сути — это хитрая форма записи метода Ньютона решения нелинейного уравнения.
К огромному сожалению в отечественной литературе его постоянно относят к неитерационным методам.
Например, в учебном пособии Ю. А. КОМАРОВСКИЙ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ РЕФЕРЕНЦ-ЭЛЛИПСОИДОВ В СУДОВОЖДЕНИИ (издание второе, переработанное и дополненное) сказано: "Кроме итерационных способов вычислений геодезических координат по пространственным прямоугольным разработаны и так называемые прямые вычисления. Рассмотрим один такой способ, который не относится к особо точным." И далее идёт описание способа Боуринга, блжад!
(Надо заметить, что вся эта книга — одно недоразумение.)

"Затем вычисляется параметр θ"

Возможно стоило сказать, что это приведённая (редуцированная) широта.

Второе спасибо — за более точное значение начального приближения для тангенса широты из роботы самого Боуринга 85 г. О нем мало кто упоминает не только у нас, но и за рубежом.

Несколько лет назад задался вопросом: можно ли найти такое нулевое приближение, достаточно простое (не сложнее самой итерации), чтобы с точностью double (приблизительно 15.955 десятичных цифр относительной точности) можно было ограничится только одним приближением?

Оказалось — да, возможно.

Surf Bowringoutput(H=-20000;100000;1000).jpg (119.47 КБ) 38101 просмотр

По вертикальной оси число верных десятичных знаков.
Левая ось — широта
Нижняя — высота в метрах. от -20 000 м до 100 000 м.

При программной реализации нет никакой необходимости в явном вычислении приведённой широты.
Можно сделать приблизительно по такой схеме:

Код: Выделить всё

  REAL ee = f*(2-f);
  REAL eea = ee*a;
  REAL w = 1/(1-f);
  REAL RRxy = X*X + Y*Y;
  REAL Rxy = sqrt(RRxy);
  REAL ZZ = Z*Z;
  REAL RR = RRxy + ZZ;
  REAL R = sqrt(RR);
  REAL ss = ZZ/(1-ee)+RRxy;
  REAL s = sqrt(ss);

    REAL TanB = (Z/Rxy)*(s/(s-eea));// начальное приближение

    REAL TanBeta = (1-f)*TanB; // тангенс редуцированной(приведённой) широты
    REAL sqrCosBeta = 1/(1+sqr(TanBeta)); // sqr - возведение в квадрат
    REAL CosBeta  = sqrt(sqrCosBeta);
    REAL SinBeta  = TanBeta*CosBeta;
    REAL sqrSinBeta = 1 - sqrCosBeta;
    TanB = (Z+eea*w*sqrSinBeta*SinBeta)/(Rxy-eea*sqrCosBeta*CosBeta);

"Педанты" от математики иногда отмечают, что метод Боуринга сходится не во всём пространстве. Около центра эллипсоида есть небольшая область размером меньше 100 км (точное значение не помню) где метод расходится.

[Игорь Белов]

большое спасибо за статью.

Вам большое спасибо за "мысли вслух", превзошедшие статью по объёму.

Возможно стоило упомянуть третье сжатие n=f/(2-f)

Статья практическая, а не теоретическая. Третье сжатие в ней не используется, так что не стоило.

В настоящий момент декартова СК первична. И на её оси можно "натянуть" любой эллипсоид.

Декартова система координат всегда первична, и фраза «начало координат находится в центре эллипсоида» этому не противоречит.

"геодезическая долгота L - двугранный угол между плоскостями данного и начального меридианов"

Это не так.

Согласен, выкинул слово «двугранный».

"Геоцентрическая система координат необходима для вычисления спутниковых орбит"

Скорее не необходима, а может часто использоваться.

Пусть будет «необходима». В контексте данной статьи это довольно близко к истине, и не отправляет читателя в бесконечное путешествие в миры аналитических и численных методов.

В ISO 80000-2:2009(E) написано: "tg x should not be used"

Мне нравится формула tg a = y / x . Когда я её пишу, я знаю, что не буду вычислять тангенс T = Y / X , а затем угол функцией ATAN(T). Я буду вычислять угол функцией ATAN2(Y, X) , и это действительно устойчивое решение в отличие от того, что предлагают Vaníček, Krakiwsky и др.
Господа британские учёные высасывают из пальца темы для статей там, где надо открыть справочник по Фортрану.
А рекомендации ISO и ГОСТ не являются источником первичной информации, изучать их следует с изрядной долей скептицизма.

"Затем вычисляется параметр θ"

Возможно стоило сказать, что это приведённая (редуцированная) широта.

Хорошо, добавлю в текст.

При программной реализации нет никакой необходимости в явном вычислении приведённой широты.

Верно, но это детали, не имеющие отношения к сути метода.

[Александр Мурый]

Уважаемый товарищ/господин stout, видя ваш профессиональный уровень и заинтересованность в этих вопросах, предлагаю написать аналитическую статью на ГИС-Лаб по интересующей вас тематике.

[Игорь Белов]

Прошу перенести статью из раздела «Геометрия» в «Координаты и проекции».

[Александр Мурый]

Прошу перенести статью из раздела «Геометрия» в «Координаты и проекции».

Сделал, а заодно перенёс туда статьи из серии "Задачи на сфере" и "Вычисление площади полигона на сфере и эллипсоиде".

[Игорь Белов]

Спасибо! Насчёт "Задач на сфере" Вы, пожалуй, правы, хотя близкие по теме статьи Максима сложены в "Геометрии". А вот "Площадь полигона", на мой взгляд, в "Геометрии" и должна остаться.