Ортодрома между точками на параллели. В чем подвох?

[abash]

Здравствуйте.
Помогите, плс, разобраться в следующей ситуации:
Имеем, скажем 45 точек, лежащих на одной широте (51N10W, 51N11W...51N54W). Если построить ортдрому между первой и последней точкой (51N10W; 51N54W) получим расстояние равное 3041989,908 м, при этом сама ортодрома будет отклонятся от 51-ой широты где-то до широты 53.5.
В то же время, если просчитать сумму ортодром между каждой парой точек (51N10W; 51N11W) + (51N11W; 51N12W) +...+(51N53W; 51N54W), то получим 3088674,16 м. При этом в пиках, отклонение ортодромы от 51-й широты будет максимум 4 секунды.
Разница между расстояниями порядка 46 км, что составляет всего лишь порядка 1,5% от общей дистанции.
Таким образом получается, что путь из точки 51N10W в 51N54W можно пройти двумя "кратчайшими" путями (точнее сказать одним кратчайшим, и другим, который больше всего лишь на 1,5%).
Но при этом один маршрут будет отклонятся от 51-ой широты на 3,5 градуса, а второй всего-лишь на 4 секунды, и будет проходить через все вышеуказанные точки. Если речь идет о маршруте воздушного судна, то такая разница очень даже существенна.
Интуитивно я, конечно, догадываюсь что-то такого не может быть, но никак не могу понять, где ошибка в размышлениях и что я делаю не так.

Заранее спасибо.
P.S. Такая же ситуация повторяется если брать точки 51N10W, 52N11W, 53N12W и т.п.
Расчет ортодром производил по алгоритму Винсенти.

[Игорь Белов]

Ваши вычисления подтверждают истину:

Параллель, отличная от экватора, не является ортодромией.

Очевидно, не является ортодромией и кривая из точек "такой же ситуации".

[abash]

Боюсь, что мои расчеты как раз таки показывают обратное - если пройти весь маршрут по точкам, лежащим на параллели (между точками передвигаясь по маленьким ортодромам, при этом маленькие ортодромы будут практически совпадать с параллелью - отклонение 4") то получится, что такой маршрут отличается от настоящей ортодромы всего лишь на 1,5% - что очень мало. Это понятно, что параллель не является ортодромой, непонятно, почему такая маленькая разница (близкая к погрешности) между двумя маршрутами, хотя один отклоняется от другого на 3-3,5 градуса.

[Игорь Белов]

Так "всего лишь на 1,5%, что очень мало" или "такая разница очень даже существенна"? Вы уж определитесь с уровнем запросов.
Если проблема трудна, вычисляйте, потом возвращайтесь к рассуждениям. Что будет, если увеличивать разность долгот? Что случится, когда она составит 180 градусов? Просто работайте, и просветление придёт.

[abash]

Не вижу противоречия в своем запросе - разница между маршрутами "очень даже существенна", однако разница между длиной маршрутов "всего лишь 1,5%, что очень мало".
Для наглядности, во вложенном файле схематически показана разница между двумя маршрутами. Разница в длине маршрутов 1,5%, однако сами маршруты пролегают на значительном отдалении друг от друга.
Какая здесь связь с исключением, касающимся антиподных точек? Вы бы мне еще посоветовали проверить алгоритмом Винсенти расстояние между точками (0°, 0°) и (0.5°, 179.7°)...

[Игорь Белов]

Какая здесь связь с исключением, касающимся антиподных точек? Вы бы мне еще посоветовали проверить алгоритмом Винсенти расстояние между точками (0°, 0°) и (0.5°, 179.7°)...

Включите воображение, (51°, -10°) и (51°, 170°) вовсе не антиподные точки. И оставьте в покое Винсенти, сначала попробуйте разобраться с задачами на сфере.

[abash]

Согласен, насчет антиподных точек поторопился. Непонятно только, к чему все эти поучения, если можно было сразу сказать, что никакого подвоха нет, и для такого короткого участка разница между двумя маршрутами вполне адекватная.

[Игорь Белов]

Сказать можно, но ведь Вас не удовлетворил бы такой ответ, верно?

[abash]

Ну почему же, в таком случае я бы быстрей нашел ошибку в своих расчетах - у меня длина 1 градуса параллели на 51-й широте получалась равной ~82 км, из-за того что градусы в радианы не перевел.Поэтому и был удивлен, что ортодрома, совсем немного отходя от параллели короче самой параллели аж на 12 км на одном градусе, а тут еще и и ортодрома между конечными точками так сильно отклонялась от параллели. Поэтому и был уверен, что что-то не так.
Но теперь у меня возникает еще один, теперь уже практический вопрос - не могли бы вы посоветовать, как лучше поступить в такой ситуации:
Дана сфера, на которой с шагом в 1 градус как по широте, так и по долготе отмечены точки. Каждая точка соединена с восемью соседними точками по вертикали, горизонтали и "диагоналям".
Соответственно, построен граф, вершинами которого являются эти точки на сфере, а ребрами - линии связей точек с соседями. Вес ребра - расстояние между точками. На данный момент расстояния между точками вычисляются по ортодроме.
Задача заключается в построении кратчайшего маршрута из пункта А в пункт Б.
Алгоритм Дейкстры отказывается на "небольших" расстояниях (40-50 градусов) и когда точки расположены на примерно одной широте прокладывать маршрут близкий к “теоретической” ортодроме (сплошная линия на рисунке из одного из предыдущих сообщений), а предлагает путь по прямой (пунктирная линия).Собственно, из-за этого и возник изначальный вопрос.
Учитывая, что в расчетах все правильно, встает вопрос, как исправить ситуацию, так как очень важно, чтобы построенный маршрут был максимально близок к "теоретической" ортодроме (просто выбрать точки максимально близкие к “теоретической ” ортодроме и выдать их за оптимальный маршрут нельзя, так как есть вероятность того, что такой маршрут попадет в запретную зону. В данный момент, запретные области просто исключаются из графа, соответственно, маршрут через них не будет построен по умолчанию).
Есть ли смысл вместо того, чтобы рассчитывать расстояния между точками по ортодромам, рассчитывать их по локсодромам или по “хордам под землей” ( а потом, когда точки маршрута определены, пересчитать длину маршрута по ортодромам между точками)?
Чтоб проверить эти предположения на практике потребуется много времени на пересчет графа, не хотелось бы просто потерять время, возможно и пытаться не стоит?

Заранее благодарю.

[Игорь Белов]

Существенной разницы в выборе локсодром, ортодром или хорд нет. Длины дуг не превышают одного градуса, и их отношения на разных широтах будут практически одинаковы для каждого из методов.
Позвольте уточнить: увеличение веса означает увеличение вероятности выбора ребра?

[abash]

Да уж посмотрел соотношения диагоналей, вертикалей и горизонталей для локсодром и хорд, получается примерно такое же как у ортодром, т.е. шансов, что маршрут по локсодромам или хордам, в отличии от ортодром полезет наверх нет.
Насчет веса ребра - наоборот, чем меньше вес (чем короче расстояние), тем больше интереса представляет ребро.

[Игорь Белов]

Расчёты показывают, что проблема в ступеньках на переходах с параллели на параллель. Главное то, что они делают линию ломаной. Эффект усугубляется тем, что угол между диагональю и параллелью близок к 45° только в районе экватора. С приближением к полюсу он стремится к 90°.

P. S. В общем случае можно ослабить эффект, если от тессеральной сетки перейти к гексагональной. На сфере её строят на основе икосаэдра делением граней. Однако во множестве отдельных случаев эффект, напротив, усугубится. Так что следует крепко подумать, стОит ли усложнять алгоритм конструирования графа.
Зато получается практически равномерная сетка, не вырождающаяся к полюсам. И нет пересекающихся диагональных рёбер, что неэстетично

[abash]

Дяденька, это вы сейчас с кем разговаривали....
Спасибо огромное за совет, пойду разбираться в теории и попробуем посмотреть как все это будет выглядеть на практике. О результатах отпишусь.
Спасибо!

[Игорь Белов]

По некотором размышлении вижу, что мой совет не так уж и хорош. В гексагональной сетке от каждого узла отходит шесть рёбер против восьми в Вашей. В результате углы поворота больше, траектории длиннее. Можно, конечно, удвоить число рёбер, добавив «диагональные»… Про эстетику придётся забыть: каждое длинное ребро будет пересекать одно короткое и четыре (!) длинных.

[abash]

Нда, не получилось...
Стало еще хуже
На рисунке p.jpg - получившаяся сетка.
На других рисунках зеленая линия - маршрут, красная - ортодрома.
Ладно, будем пробовать на прямоугольной сетке шаг уменьшать, посмотрим что из этого выйдет.