Искажения в локальной СК

[drug]

Добрый день.
Имеем некую локальную СК. На границах этой СК на определенном удалении возникают искажения, так как начинает сказываться кривизна Земли. Как я понимаю, что если я определю координаты объекта на удалении, скажем, 500 км от центра СК то при попытке найти этот объект на местности по данным координатам окажется что координаты не совсем верные и объект немного (или не немного) в стороне. Вопрос - если я СК использую только для определения взаимного расположения объектов, могу ли я пренебречь этими искажениями? Мне нужно найти дистанцию между двумя объектами на удалении 1000 км от центра СК - скажутся ли эти искажения или нет? Искать эти объекты на местности не нужно, важно их взаимное расположение.

[bingeomap]

Добрый день.
от центра СК

Вы что имеете ввиду, от центра объекта (или) территории имеете ввиду?

[drug]

Есть СК. Внезапно понадобилось определять расстояния между объектами, которые находятся на большом расстоянии от центра системы координат. Т.е. если раньше в 300-400 км укладывались координаты объектов, то теперь нужно больше. Нужно найти расстояние между двумя любыми объектами, заданными в данной СК. Объекты могут быть как на противоположных концах территории, так и рядом. Мне, можно сказать, нужно кластеризацию объектов делать, т.е. найти группы близкорасположенных объектов. Как я полагаю, но не уверен, кластеризацию можно проводить невзирая на искажения, а вот если нужно получить координаты для использования на практике, тогда уже их нужно переводить в систему координат, не дающую искажений. Я правильно полагаю?

[Игорь Белов]

Системы координат, отображающей на плоскость поверхность эллипсоида или сферы без искажений, не существует. Что конкретно Вы называете локальной СК?

[bingeomap]

Картографические проекции имеет вид искажений по определенным критерием, т.е. например, есть есть проекции которые там нет искажений направлений и углов, но расстояние очень искажается; есть проекции которые там расстояние не искажается а форма искажается и т.д. Я так понимаю, что вам надо такая проекция, которая там расстояние не искажался, что бы измеряя расстояние между двумя точками у вас получился более реальные (условно) значения, не так ли?

[gamm]

Есть СК. Внезапно понадобилось определять расстояния между объектами, которые находятся на большом расстоянии от центра системы координат. Т.е. если раньше в 300-400 км укладывались координаты объектов, то теперь нужно больше. Нужно найти расстояние между двумя любыми объектами, заданными в данной СК. Объекты могут быть как на противоположных концах территории, так и рядом. Мне, можно сказать, нужно кластеризацию объектов делать, т.е. найти группы близкорасположенных объектов. Как я полагаю, но не уверен, кластеризацию можно проводить невзирая на искажения, а вот если нужно получить координаты для использования на практике, тогда уже их нужно переводить в систему координат, не дающую искажений. Я правильно полагаю?

у вас какая-то мешанина ... если у вас есть СК (спроецированная), то расстояния в ней находятся по теореме Пифагора с любой точностью. Если вам нужны расстояния по рельефу, то вам никакая СК не поможет, нужна модель рельефа и соответствующая считалка (все СК проецируют на эллипсоид). Если ваша СК дает неверные расстояния, то используйте другую (равнопромежуточную), в которой расстояния считаются правильнее, либо, если нужны расстояния на эллипсоиде, считайте сферическую геометрию на соответствующем эллипсоиде.

Да, и на кластеризацию СК не влияет.

[drug]

Системы координат, отображающей на плоскость поверхность эллипсоида или сферы без искажений, не существует. Что конкретно Вы называете локальной СК?

Да, вы правы, если быть точным. Я имел в виду, что, например, на границах зоны Гаусса-Крюгера искажения увеличиваются по сравнению с искажениями на центральном меридиане. И если возле центрального меридиана они считаются нулевыми, то по мере удаления эти искажения стремятся к неприличным. И вопрос скажутся ли эти искажения на расчетах взаимного расположения объектов в этой СК на большом расстоянии от центрального меридиана.
Вообще я работаю с проекцией Гаусса-Крюгера и конической Ламберта, вот их я и понимаю под локальными СК.

Картографические проекции имеет вид искажений по определенным критерием, т.е. например, есть есть проекции которые там нет искажений направлений и углов, но расстояние очень искажается; есть проекции которые там расстояние не искажается а форма искажается и т.д. Я так понимаю, что вам надо такая проекция, которая там расстояние не искажался, что бы измеряя расстояние между двумя точками у вас получился более реальные (условно) значения, не так ли?

Да, так.

у вас какая-то мешанина ... если у вас есть СК (спроецированная), то расстояния в ней находятся по теореме Пифагора с любой точностью. Если вам нужны расстояния по рельефу, то вам никакая СК не поможет, нужна модель рельефа и соответствующая считалка (все СК проецируют на эллипсоид). Если ваша СК дает неверные расстояния, то используйте другую (равнопромежуточную), в которой расстояния считаются правильнее, либо, если нужны расстояния на эллипсоиде, считайте сферическую геометрию на соответствующем эллипсоиде.

Да, и на кластеризацию СК не влияет.

Попробую задачу обрисовать. Заданы несколько локальных СК в проекции Ламберта или Гаусса-Крюгера, они частично пересекаются. В каждой СК задан некий набор объектов и некоторые объекты заданы в нескольких СК. Я перевожу координаты объектов в одну из этих локальных СК, т.е. привожу к единой системе координат, там осуществляю обработку и затем результаты перевожу обратно в локальные СК. Пока размер обрабатываемой зоны укладывался до 500 км. Но здесь появилась задача чтобы размер обрабатываемой зоны был намного больше, а в идеале не ограничен. Самое очевидное и общее решение для меня переводить все координаты в зоны Гаусса-Крюгера и обрабатывать в них, но это довольно муторное занятие будет. И возникло предположение, что возможно достаточно будет брать за единую систему координат какую-либо одну зону Гаусса-Крюгера и обрабатывать в ней одной, потому что в моем случае можно пренебречь искажениями на границах зоны.

[bingeomap]

А почему тогда не хочешь менять проекцию? Или же я не правильно понял вашу задачу и проблему?

[Игорь Белов]

Хорошо, выберем проекцию Гаусса-Крюгера с осевым меридианом в середине территории. Главная характеристика искажения расстояний — масштаб проекции m:

m ≈ 1 + y² / 2 R²

где y — расстояние от осевого меридиана («чистая» плоская восточная координата без масштабного коэффициената k и без x_0); R — радиус кривизны эллипсоида в точке. Будет замечательно для территории, вытянутой вдоль меридиана.

Если объект вытянут вдоль параллели, выгодно использовать проекцию Ламберта. Масштаб возрастает по мере удаления от центральной параллели. Формулы несколько сложнее, но идея та же.

В общем случае рекомендуется стереографическая проекция с центром в середине территории. Масштаб m:

m ≈ 1 + (x² + y²) / 4 R₀²

где x, y — «чистые» координаты без k, x_0, y_0; R₀ — радиус кривизны эллипсоида в центре проекции.

[Boris]

Неужели вы все собрались на калькуляторе вычислять? Чем ГИС или хотя бы Excel плохи? Формулы сферической геометрии вроде не секретны, если уж нет ГИС под рукой. Если нужна точность, при которой расстояние между точками надо считать с такой подробностью, то лишний шаг с переходом от плоской системы координат к сферической или географической погоды не сделает. Не говоря уже о том, что есть программы, где вычисление расстояний и площадей возможно на сфере. Конечно, это все для случая когда СК известно как переходит географические координаты.

[drug]

А почему тогда не хочешь менять проекцию? Или же я не правильно понял вашу задачу и проблему?

Да я не против поменять. Только вот получить одну СК без искажений не получится никак в любой проекции. Обрабатывать данные в географических координатах можно, но не неудобно с точки зрения математики, да и нагрузка вычислительная возрастает. Обрабатывать данные в зонах Гаусса-Крюгера неудобно с той точки зрения, что координаты одного и того же объекта в разных зонах будут разные. Хотя, полагаю, что это наиболее правильный вариант на данный момент.

Хорошо, выберем проекцию Гаусса-Крюгера с осевым меридианом в середине территории. Главная характеристика искажения расстояний — масштаб проекции m:

m ≈ 1 + y² / 2 R²

где y — расстояние от осевого меридиана («чистая» плоская восточная координата без масштабного коэффициената k и без x_0); R — радиус кривизны эллипсоида в точке. Будет замечательно для территории, вытянутой вдоль меридиана.

Если объект вытянут вдоль параллели, выгодно использовать проекцию Ламберта. Масштаб возрастает по мере удаления от центральной параллели. Формулы несколько сложнее, но идея та же.

В общем случае рекомендуется стереографическая проекция с центром в середине территории. Масштаб m:

m ≈ 1 + (x² + y²) / 4 R₀²

где x, y — «чистые» координаты без k, x_0, y_0; R₀ — радиус кривизны эллипсоида в центре проекции.

Спасибо большое за конкретику.

Неужели вы все собрались на калькуляторе вычислять? Чем ГИС или хотя бы Excel плохи? Формулы сферической геометрии вроде не секретны, если уж нет ГИС под рукой. Если нужна точность, при которой расстояние между точками надо считать с такой подробностью, то лишний шаг с переходом от плоской системы координат к сферической или географической погоды не сделает. Не говоря уже о том, что есть программы, где вычисление расстояний и площадей возможно на сфере. Конечно, это все для случая когда СК известно как переходит географические координаты.

Да нет, конечно, это будет делать специализированное приложение с использованием proj4.

Попробую еще точнее сформулировать вопрос - если я из локальных СК буду преобразовывать в одну единую прямоугольную СК, обрабатывать в ней и затем делать обратный переход в локальные СК, искажения будут накапливаться при обработке или они при обратном преобразовании компенсируются?

[Донецков]

если я из локальных СК буду преобразовывать в одну единую прямоугольную СК, обрабатывать в ней и затем делать обратный переход в локальные СК, искажения будут накапливаться при обработке или они при обратном преобразовании компенсируются

- теоретически компенсироваться...
хотя убейте не пойму зачем такие сложности...
Есть несколько исходных карт в локальных СК (параметры их известны), измерения происходят чего - линий? Соответственно эти карты геопривязаны, преобразуйте в нужную СК (например географическую, или создаете новую СК с ЦМ в центре изменяемых объектов), наносите линию между нужными точками, вычисляете расстояние на эллипсоиде ...

[drug]

- теоретически компенсироваться...
хотя убейте не пойму зачем такие сложности...
Есть несколько исходных карт в локальных СК (параметры их известны), измерения происходят чего - линий? Соответственно эти карты геопривязаны, преобразуйте в нужную СК (например географическую, или создаете новую СК с ЦМ в центре изменяемых объектов), наносите линию между нужными точками, вычисляете расстояние на эллипсоиде ...

Так я наоборот хочу избавиться от сложностей. Геопривязка есть, но работать в географических координатах я не планирую, потому что это большая вычислительная сложность, так как как поиск объектов в определенном радиусе потребует все равно перехода в некую прямоугольную СК. Лучше сразу работать в прямоугольной СК.
Собственно я только что сообразил, что надо просто в качестве единой прямоугольной СК использовать геоцентрическую прямоугольную систему (которая x, y, z и с центром в центре Земли) и в ней все расчеты и делать. Тогда и искажений не будет, и вычислительная сложность определения взаимного расположения объектов минимальная. Собственно я когда-то так и планировал, но пока работал с обычными прямоугольными СК (которые просто x, y) видимо сознание сместилось немного и я забыл про z. Хотя тут тоже нужно оценить.
Всем спасибо за ответы!