Точность сферической тригонометрии на эллипсоиде

[KotAlex]

Камрады, прошу помощи.
На картах мелких масштабов ( карты стран, регионов и мира ) решаются задачи типа прямой и обратной геодезических, и ведутся разного рода геометрические построения. С целью упрощения расчетов все построения ведутся по методам сферической тригонометрии.
Интересует вопрос - насколько велики будут ошибки и искажения вследствие применения методов сферической тригонометрии для эллиптической поверхности ? имеются ли какие-либо численные выражения подобных ошибок ?
Для максимальной определенности максимально конкретизирую задачу : строится линия кратчайшего расстояния ( ортодрома ) между двумя точками земной поверхности, разнесенными друг от друга на расстояние, скажем, в четверть земной дуги. Насколько велико будет отклонение этой линии, построенной на сфере, от этой же линии, построенной на эллипсоиде ?
Или другая задача - для заданной точки найти координаты точки, отстоящей от первой на заданных азимуте и дистанции ( дистанция, как и в первом случае - четверть земной окружности ). Насколько велики расхождения вторых точек в случае расчетов по указанным методам ?
Я знаю, что на эллипсоиде эта линия строится методом численного интегрирования дифференциальных
уравнений геодезической линии, и на основе этого можно получить численные оценки расхождений.
Но меня интересует - не имеются ли уже готовые ответы на этот вопрос ?

[Эдуард Казаков]

А почему бы не использовать стандартные методы сфероидической геодезии, описывающие решение и прямой и обратной геодезических задач (в сущности, вы обозначили именно их) на эллипсоиде? Есть открытые реализации, можно брать. Опять же, самой простой путь - посчитать и так и так, сравнить. Или вопрос именно о теоретических выкладках?

[KotAlex]

А почему бы не использовать стандартные методы сфероидической геодезии, описывающие решение и прямой и обратной геодезических задач (в сущности, вы обозначили именно их) на эллипсоиде? Есть открытые реализации, можно брать.

Большое спасибо за ответ, однако, прошу учесть, что я не специалист ни в картографии, ни в геодезии, поэтому, уж будьте так любезны, поясните чуточку поподробней, что вы имеете в виду под "стандартными методами сфероидической геодезии". Я сейчас все построения веду путем решения сферических треугольников на правильной сфере. Может, вы имеете в виду это ?
И если есть открытые реализации, то где их можно взять и в каком виде ?

Опять же, самой простой путь - посчитать и так и так, сравнить.

Так в том-то и дело, что в облом мне считать и так, и сяк ...
На сфере я, конечно, посчитаю ( да и считать-то там нечего ). А на эллипсоиде как считать ? Решать дифференциальные уравнения для эллипсоида ? Хотелось бы этого избежать. Вот потому и клоню к тому, что, может, кто-нибудь где-нибудь когда-нибудь уже решал похожую задачу ( в смысле выяснения точности ) и имеет готовые результаты.

Или вопрос именно о теоретических выкладках?

Вопрос в том, что после того, как я реализовал построения в сферической тригонометрии, меня уже достали и заездили - вынь да положь обоснование тому, что все твои построения для сферы допустимы на эллипсоиде в смысле приемлемой точности. Крыть мне пока что нечем ...

[gamm]

Поищите на сайте статьи Игоря Белова, у него, насколько я помню, было все расписано. Можно найти сначала автора, список статей там привязан.

[ Сообщение с мобильного устройства ]

[gamm]

Кстати, насчет точности. Сообщите коллегам новость, что Земля имеет форму, далекую от эллипсоида, поэтому все рассуждения о точности примерительно к практическим задачам они того ...

[ Сообщение с мобильного устройства ]

[Эдуард Казаков]

Сфероидическая геодезия рассматривает задачи не на сфере (как можно подумать из названия), а именно на эллипсоиде. Вот есть простая Python-библиотека, решающая прямую и обратную задачи на эллипсоиде: http://geographiclib.sourceforge.net/ht ... index.html

gamm, вы конечно правы, но это лучше, чем считать в проекции, которая и так есть производная от этого эллипсоида (или сферы)

[Ariki]

Оценка точности расчёта расстояний при аппроксимации Земли сферой
Формулы Винценти для прямой и обратной геодезической задачи на эллипсоиде
man geod

[KotAlex]

Поищите на сайте статьи Игоря Белова, у него, насколько я помню, было все расписано. Можно найти сначала автора, список статей там привязан.

Большое спасибо за ответ, однако, - кто такой Игорь Белов и как мне его можно найти ? В смысле - как мне сформулировать вопрос Гуглу ? Беловых-то много ...

Сообщите коллегам новость, что Земля имеет форму, далекую от эллипсоида, поэтому все рассуждения о точности примерительно к практическим задачам они того ...

Ну, я-то, положим, прекрасно знаю, что в следующем, после эллипсоида, приближении Земля имеет форму геоида, а еще в следующем - х з, какая ... И с вами полностью согласен. Но вся беда в том, что если они узнают про это, то меня заставят разрабатывать методы для этой формы ... На полном серьезе.

[KotAlex]

Вот есть простая Python-библиотека, решающая прямую и обратную задачи на эллипсоиде: http://geographiclib.sourceforge.net/ht ... index.html

Спасибо за ссылку, разберусь с ней несколько попозже.

[KotAlex]

Оценка точности расчёта расстояний при аппроксимации Земли сферой
Формулы Винценти для прямой и обратной геодезической задачи на эллипсоиде
man geod

Тоже большое спасибо за ссылки. Английский всегда нагонял на меня темную безпросветную тоску ... Ладно уж, как-нибудь расковыряюсь с текстами, тоже несколько попозже ...

[gamm]

Большое спасибо за ответ, однако, - кто такой Игорь Белов и как мне его можно найти?

искать нужно на этом сайте, в любой теме про координаты есть его ответы. Ниже список его статей
статьи И.Белова

[KotAlex]

искать нужно на этом сайте, в любой теме про координаты есть его ответы. Ниже список его статей
статьи И.Белова

Спасибо за список статей. Я первоначально не сообразил, что искать надо на здешнем сайте. Прошу прощения. Завтра утром разберусь.

[Игорь Белов]

1. Не надо искать ответ на вопрос в моих статьях, — его там нет.
2. В сфероидической геодезии подобные вопросы ставятся примерно так: «В поясе, ограниченном широтами Bmin и Bmax, можно заменить решение треугольников на эллипсоиде решением на сфере подходящего радиуса. В зависимости от поставленных требований по точности получаемых результатов ширина такого пояса получается такая-то.» Стороны этих треугольников соединяют геодезические пункты, между которыми обеспечена взаимная видимость. Т. е. речь идёт о первых десятках километров, а не о четверти дуги меридиана.
3. Эдуард Казаков предложил единственно правильное, прямое и чёткое решение задачи. Могу лишь повторить: решайте обратные и прямые геодезические задачи на эллипсоиде и на сфере и сравнивайте результаты. Знание матана не требуется, поскольку существуют готовые библиотеки и утилиты. Добавлю только к информации Эдуарда, что библиотека GeographicLib включена в пакет PROJ.4.

[KotAlex]

1. Эдуард Казаков предложил единственно правильное, прямое и чёткое решение задачи. Могу лишь повторить: решайте обратные и прямые геодезические задачи на эллипсоиде и на сфере и сравнивайте результаты. Знание матана не требуется, поскольку существуют готовые библиотеки и утилиты. Добавлю только к информации Эдуарда, что библиотека GeographicLib включена в пакет PROJ.4.

Большое спасибо за ответ. Пару дней назад, когда я переваривал все предыдущие ответы, я тоже именно так и подумал - нафиг надо искать численные расчеты погрешностей упомянутых построений. Да и к тому же, как выясняется, их просто-напросто не существует. Можно решить проблему намного проще и наглядней следующим образом :
Для прямой задачи - для произвольно заданных координат первой точки, азимута и дистанции ( сколь угодно большой ) делаем расчет координат положения конечной точки ( отстоящей на заданных азимуте и дистанции ) методами для сферической геометрии и эллипсодной. И сравниваем положения обеих рассчитанных конечных точек.
Для второй задачи - отмечаем на карте мира две произвольные точки, отстоящие друг от друга на сколь угодно большое расстояние ( в пределах половины дуги мередиана ), и строим между ними геодезическую линию обеими методами ( для сферической и эллипсоидной геометрии ). И визуально наблюдаем отклонения линий друг от друга.
Все, что для этого надо - найти подходящую библиотеку решения задач для эллипсоидной геометрии. Вполне возможно, что подойдет предложенное Эдуардом Казаковым, я просто еще пока не успел с ней расковыряться, разберусь на неделе. Хотя похоже, что она не слишком удобна - крайне желательно что-нибудь подходящее для Delphi / C++ Builder / MS Visual Studio.
Ладно, на следующей неделе видно будет. Еще раз всем спасибо.

[gamm]

Хотя похоже, что она не слишком удобна - крайне желательно что-нибудь подходящее для Delphi / C++ Builder / MS Visual Studio.

версия 2015 MS Visual Studio нормально работает с Питоном (в том числе бесплатная). Язык, конечно мутноватый (хотя и не сильно мутнее Матлаба/R), но, поскольку нужны только вызовы подпрограмм, продраться можно, да и примеров много

посмотрите только, какая версия нужна - 2.х или 3.х