Построение равномерной сети на территорию России

[GWolf]

Добрый день, уважаемые форумчане. Возникла задача построить равномерную метрическую сеть на всю территорию России. Сеть должна состоять из квадратов, длина сторон которых равна определенному значению, заданному в метрах или километрах (например, 8 км). Попытки построить такую сеть в различных проекциях, (в т.ч. и в равнопромежуточных) к успеху не привели - в пересчете на эллипсоид в разных частях сети получаются разные значения длин сторон квадратов. Построение сети с заданным шагом в градусах, также не приводит к равномерности длин сторон квадратов (в пересчете в метрическую систему) в разных частях сетки. После небольшого изучения информации по данной теме складывается впечатление, что построить равномерную метрическую сеть на столь большую территорию невозможно. Однако, хотелось бы услышать мнение экспертов по этому вопросу. Спасибо.

[Игорь Белов]

Квадрат — фигура плоская. Как Вы себе представляете квадратную сетку на сфере?

И классический вопрос: зачем нужны картографические проекции?

[trir]

Квадрат — фигура плоская. Как Вы себе представляете квадратную сетку на сфере?

если сторона маленькая - то можно, апроксимация...

Расчитать координаты можно - формула Винсенте или что то точнее, но их в любой проекции будет карёжить...

[gamm]

построить равномерную метрическую сеть на столь большую территорию невозможно

это неверно, мы подобные сетки строили, хотя и не на Землю.

Строите начальное приближение в равнопремежуточной проекции, которое затем итерационно уравниваете. Скорее всего, хватит метода простой релаксации: в каждом узле вычисляете невязки расстояний с соседями, и "сдвигаете" точку к соседу/от соседа на половину невязки, сдвиги (векторные) в узлах суммируете.

Расстояния считаете на глобусе по большой дуге, сдвиги в метрах пересчитываете в градусы поправок узлов (в старом месте узла).

Скорее всего, сойдется, если нет - то нужно считать векторные невязки через производные (градиент), брать векторную сумму, и решать систему уравнений. Обычно сходится за 3-5 итераций.

как-то так ...

[Игорь Белов]

gamm, не то. Для этого придуманы равноугольные проекции. Претензия к тому, что

в пересчете на эллипсоид в разных частях сети получаются разные значения длин сторон квадратов

Квадраты (бесконечно малые) остаются квадратами, но размеры их на глобусе топикстартера не устраивают.
Масштаб отображения никто не отменял.

[Игорь Белов]

если сторона маленькая - то можно, апроксимация

Земля плоская, если участок примерно отсюда и до горизонта. А тут речь об 1/8 суши.

[gamm]

не

Не, как раз то. Уравниваем длины и углы до произвольных заданных величин. Длины вычисляем на глобусе в пересчете на элоипсоид, или где душа пожелает, систему уравнений пишем для равенства длин, если она не задана.

[Игорь Белов]

Не, как раз то

Я сам люблю изобретать велосипеды, но не до такой же степени

[Игорь Белов]

GWolf, давайте поставим мысленный эксперимент.

Дано. Возьмём сверхэластичную нить, не имеющую толщины, свяжем из неё бесконечную сеть с квадратными ячейками стороной, скажем, один микрометр.

Задача. Натянуть сеть на сферу радиуса R так, чтобы ячейки оставались квадратными, т. е. равносторонними с углами 90°.

Приложим сетку к сфере в точке, которую назовём центром. Начнём аккуратно укладывать сетку на сферу равномерно от центра. Поначалу всё хорошо, квадраты квадратны, размеры их визуально не меняются и равны одному микрометру.

Но с какого-то расстояния r мы заметим, что поперечный размер (если смотреть от центра) уменьшается. В одном направлении квадраты вытягиваются в прямоугольники, в другом в ромбы. Причина очевидна, — из-за кривизны поверхности длина окружности радиуса r равна не 2 π r , как было на плоскости, а 2 π R sin (r / R). Чтобы сохранить квадратную форму, нужно подтягивать сетку обратно к центру, уменьшая продольный размер в [ sin (r / R) / (r / R) ] раз.

Кстати, такую процедуру реализует уважаемый gamm, только численно и на произвольной поверхности.

Но продолжим эксперимент. Покрыв сеткой половину сферы, мы обнаружим, что размер квадратов стал равен 2 / π = 0,6366 микрометра. Продолжив дальше, мы столкнёмся с тем, что при приближении к точке, противоположной центру, размер квадратов стремится к нулю. Укладывая бесконечную сетку по 100500 квадратов в секунду, мы никогда не закончим работу до самого конца Вселенной.

Представленное отображение на сфере описано в очень простых формулах математической картографии и называется стереографической проекцией. Центр называется «центр проекции». Для эллипсоида формулы посложнее, но не принципиально, численное решение диффур не нужно.

Ещё можно поставить эксперимент с сеткой в виде ленты очень большой (бесконечной) длины шириной, равной охвату сферы. Обернуть ленту вокруг сферы по большому кругу так, чтобы сошлись длинные края и получился дли-и-инный цилиндр, и начать укладывать ячейки этого цилиндра симметрично в одну сторону и в другую от линии касания, соблюдая условие квадратности этих ячеек. Формулы будут немного другие, но общий ход событий тот же самый, вплоть до невозможности достижения полюсов из-за уменьшения размеров квадратов до нуля. Такое отображение известно как проекция Меркатора.

[GWolf]

Коллеги, спасибо за ответы! Идея изначально была дурацкой, что и подтвердилось